Question

已知三点O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|+|=（+）+2。
（1）求曲线C的方程；
（2）动点Q（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l，问：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由 =（-2-x，1-y），=（2-x，1-y）
可得 +=（-2x，2-2y），
∴|+|=，
·（+）+2=（x，y）（0，2）+2=2y+2
由题意可得=2y+2，化简可得x²=4y.
（2）假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，
则直线PA的方程是y=，直线PB的方程是y=
∵-2＜x₀＜2，
∴
①当-1＜t＜0时，，存在x₀∈（-2，2），
使得
∴l∥PA，
∴当-1＜t＜0时，不符合题意；
②当t≤-1时，，，
∴l与直线PA，PB一定相交，分别联立方程组，，
解得D，E的横坐标分别是，
∴
∵|FP|=-
∴=
∴
∴=×
∵x₀∈（-2，2），
△QAB与△PDE的面积之比是常数
∴，解得t=-1，
∴△QAB与△PDE的面积之比是2。