Question

已知：函数f（x）在（-1，1）上有定义，f(

1

2

)=-1，且对?x、y∈（-1，1）有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)．
（Ⅰ）试判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）对于数列{x_n}，有x1=

1

2

，xn+1=

xn-xn+1

1-xnxn+1

，试证明数列{f（x_n）}成等比数列；
（Ⅲ）求证：

n

i=1

f(xi)＞f(

4

5

)．

Answer 1

分析：（I）根据题意在f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)中，令y=-x，计算可得f（-x）=f（x），从而可得函数为奇函数．
（II）欲证数列{f（x_n）}成等比数列，只须证得

f(xn+1)

f(xn)

=

1

2

，利用题中条件：x1=

1

2

，xn+1=

xn-xn+1

1-xnxn+1

从而可证明数列{f{x_n}}为等比数列．
（2）利用（Ⅱ）可得f(xn)=-

1

2n-1

，求得

n

i=1

f(xi)，从而利用等比数列的求和公式得

n

i=1

f(xi)＞f(

4

5

)，进而得解．

解答：解：（Ⅰ）在f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)中，令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）
再令x=y=0，得f（0）+f（0）=f（0），∴f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数
（Ⅱ）证明：由xn+1=

xn-xn+1

1-xnxn+1

得xn=

2xn+1

1+ x 2 n+1

∵|

2xn+1

1+ x 2 n+1

|=

2|xn+1|

1+ x 2 n+1

＜1∴-1＜xn=

2xn+1

1+ x 2 n+1

＜1
∴f(xn+1)=f(

xn-xn+1

1-xn•xn+1

)=f(xn)+f(-xn+1)
∵函数f（x）为奇函数，∴f（x_n+1）=f（x_n）-f（x_n+1），2f（x_n+1）=f（x_n）
∵x_n≠0否则与x1=

1

2

矛盾，∴f（x_n）≠f（0）=0
〔或f(xn)=f(

2xn+1

1+ x 2 n+1

)=f(

xn+1+xn+1

1+xn+1•xn+1

)=f(xn+1)+f(xn+1)=2f（x_n+1）〕
∴

f(xn+1)

f(xn)

=

1

2

，
∵f(x1)=f(

1

2

)=-1，∴{f（x_n）}是以-1为首项，

1

2

为公比的等比数列
（Ⅲ）证明：又（Ⅱ）可得f(xn)=-

1

2n-1

∵

n

i=1

f(xi)=f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）=-(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

)=-2+

1

2n-1

f(

4

5

)=f(

1 2 + 1 2

1+ 1 2 × 1 2

)=f(

1

2

)+f(

1

2

)=-2
又∵n∈N^*∴-2+

1

2n-1

＞-2∴

n

i=1

f(xi)＞f(

4

5

)

点评：本小题主要考查抽象函数及其应用、函数奇偶性的应用、数列的性质等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于难题．