Question

（2013•资阳模拟）在等比数列{a_n}中，a₁=1，且4a₁，2a₂，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）设{a_n}的公比为q，根据等比数列的通项公式与等差中项的定义，建立关于q的等式解出q=2，即可求出{a_n}的通项公式．
（II）根据（I）中求出的{a_n}的通项公式，利用对数的运算法则算出b_n=n-1，从而证出{b_n}是首项为0、公差为1的等差数列，再利用等差数列的前n项和公式加以计算，可得数列{b_n}的前n项和S_n的表达式．

解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的公比为q，
∵4a₁，2a₂，a₃成等差数列，∴4a₁+a₃=4a₂．
又∵{a_n}的公比为q，首项a₁=1，∴4+q²=4q，解之得q=2．
∴数列{a_n}的通项公式为an=a1qn-1=2n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵an=2n-1，∴bn=log22n-1=n-1，
由此可得b_n+1-b_n=n-（n-1）=1，b₁=0，
∴{b_n}是首项为0、公差为1的等差数列，
因此，数列{b_n}的前n项和Sn=

n(b1+bn)

2

=

n(n-1)

2

．

点评：本题给出等比数列{a_n}满足的条件，求它的通项公式并依此求数列{b_n}的前n项和．着重考查了等差、等比数列的通项与性质，等差数列的前n项之积公式与对数的运算法则等知识，属于中档题．