Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程

x=1+cosφ y=sinφ

（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+

3

cosθ）=3

3

，射线OM：θ=

π

3

与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

Answer 1

分析：（I）圆C的参数方程

x=1+cosφ y=sinφ

（φ为参数）．消去参数可得：（x-1）²+y²=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．
（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+

3

cosθ）=3

3

，射线OM：θ=

π

3

．可得普通方程：直线ly+

3

x=3

3

，射线OMy=

3

x．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．

解答：解：（I）圆C的参数方程

x=1+cosφ y=sinφ

（φ为参数）．消去参数可得：（x-1）²+y²=1．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．
（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+

3

cosθ）=3

3

，射线OM：θ=

π

3

．
可得普通方程：直线ly+

3

x=3

3

，射线OMy=

3

x．
联立

y+ 3 x=3 3 y= 3 x

，解得

x= 3 2 y= 3 3 2

，即Q(

3

2

，

3 3

2

)．
联立

y= 3 x (x-1)2+y2=1

，解得

x=0 y=0

或

x= 1 2 y= 3 2

．
∴P(

1

2

，

3

2

)．
∴|PQ|=

( 1 2 - 3 2 )2+( 3 2 - 3 3 2 )2

=2．

点评：本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．