题目内容
关于x的不等式|x+a|＜|x|+|x+2013|的解集为R，则实数a的取值范围是 ．
分析：分别令x=0、x=-2013，求得0＜a＜2013，然后分类证明0＜a＜2013 时，不等式|x+a|＜|x|+|x+2013|的解集为R，从而得到a的范围．
解答：解：∵x∈R，则x=0时，得|a|＜2013，求得-2013＜a＜2013．
x=-2013时，得|a-2013|＜2013，得0＜a＜4026，
综合可得，0＜a＜2013．
然后证明0＜a＜2013时，原不等式的解集为R：
证明：①当x≥0时，不等式即x+a＜x+x+2013，即 a＜x+2013，显然恒成立．
②x≤-2013时，不等式即-（x+a）＜-x-（x+2013），即 x+2013＜a，显然恒成立．
③-2013≤x≤0时，不等式即|x+a|＜-x+（x+2013）=2013．
由于-2013+a≤x+a≤0+a，即 a-2013≤x+a≤a＜2013，且|a-2013|＜2013，所以，|x+a|＜2013恒成立．
综合①、②、③得0＜a＜2013时，原不等式的解集为R，命题得证，
故答案为：（ 0，2013）．
x=-2013时，得|a-2013|＜2013，得0＜a＜4026，
综合可得，0＜a＜2013．
然后证明0＜a＜2013时，原不等式的解集为R：
证明：①当x≥0时，不等式即x+a＜x+x+2013，即 a＜x+2013，显然恒成立．
②x≤-2013时，不等式即-（x+a）＜-x-（x+2013），即 x+2013＜a，显然恒成立．
③-2013≤x≤0时，不等式即|x+a|＜-x+（x+2013）=2013．
由于-2013+a≤x+a≤0+a，即 a-2013≤x+a≤a＜2013，且|a-2013|＜2013，所以，|x+a|＜2013恒成立．
综合①、②、③得0＜a＜2013时，原不等式的解集为R，命题得证，
故答案为：（ 0，2013）．
点评：题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．
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