Question

已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意不相等的实数x₁,x₂，都有|f(x₁)-f(x₂)|＜|x₁-x₂|，且f(p)=p(p为常数)，又在数列{a_n}中，a₁＜p,f(a_n)+a_n=2a_n+1,求证：

（1）a_n＜p;

(2)a_n+1＞a_n.

Answer 1

思路分析:用数学归纳法证明从“n=k到n=k+1”时，关键是“一凑假设，二凑结论”.

证明:很明显,n=1时，a₁＜p成立.

假设n=k时，a_k＜p成立，

则当n=k+1时，由|f(p)-f(a_k)|＜|p-a_k|及f(p)=p,

可得|p-f(a_k)|＜|p-a_k|,

又a_k＜p,

故|p-f(a_k)|＜p-a_ka_k-p＜p-f(a_k)＜p-a_k

注意到已知条件f(a_k)+a_k=2a_k+1,

将其变形为f(a_k)=2a_k+1-a_k,

代入①式得a_k+1＜p;

代入②式得a_k+1＞a_k.

这样命题(1)、（2）获证.