题目内容
已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设
=
，
=
．
（Ⅰ）求
和
的夹角θ的余弦值；
（Ⅱ）若向量k
+
与k
-2
互相垂直，求实数k的值；
（Ⅲ）若向量λ
-
与
-λ
共线，求实数λ的值．
| a |
| AB |
| b |
| AC |
（Ⅰ）求
| a |
| b |
（Ⅱ）若向量k
| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅲ）若向量λ
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：（I）利用向量夹角公式即可得出；
（II）利用向量垂直于数量积的关系即可得出；
（III）利用向量共线定理即可得出．
（II）利用向量垂直于数量积的关系即可得出；
（III）利用向量共线定理即可得出．
解答：解：
=
=(1，1，0)，
=
=(-1，0，2)．
（Ⅰ）cosθ=
=
=-
，
∴
和
的夹角θ的余弦值为-
．
（Ⅱ） k
+
=(k-1，k，2)，k
-2
=(k+2，k，-4)
∵向量k
+
与k
-2
互相垂直，
∴(k
+
)•(k
-2
)=(k-1，k，2)•(k+2，k，-4)=（k-1）（k+2）+k2-8=2k2+k-10=0
∴k=-
，或k=2．
（Ⅲ） λ
-
=(λ+1，λ，-2)，
-λ
=(1+λ，1，-2λ)
∵向量λ
-
与
-λ
共线，∴存在实数μ，使得λ
-
=μ(
-λ
)
即（λ+1，λ，-2）=μ（1+λ，1，-2λ）∴
∴λ=1，或λ=-1．
| a |
| AB |
| b |
| AC |
（Ⅰ）cosθ=
| ||||
|
|
| -1+0+0 | ||||
|
| ||
| 10 |
∴
| a |
| b |
| ||
| 10 |
（Ⅱ） k
| a |
| b |
| a |
| b |
∵向量k
| a |
| b |
| a |
| b |
∴(k
| a |
| b |
| a |
| b |
∴k=-
| 5 |
| 2 |
（Ⅲ） λ
| a |
| b |
| a |
| b |
∵向量λ
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
即（λ+1，λ，-2）=μ（1+λ，1，-2λ）∴
|
∴λ=1，或λ=-1．
点评：熟练掌握向量夹角公式、向量垂直于数量积的关系、向量共线定理等是解题的关键．
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