Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求证：AB₁⊥平面A₁EB；
（Ⅲ）求直线B₁E与平面AA₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设AB₁和A₁B的交点为O，连接EO，连接OD，根据三角形中位线定理可以证明四边形ECOD为平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（Ⅱ）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB₁⊥AB，BB₁⊥BC．所以BB₁⊥平面ABC．因为CD?平面ABC，所以BB₁⊥CD，可证CD⊥平面A₁ABB₁，再利用直线与平面垂直的判定定理进行证明；
（Ⅲ）取A₁C₁中点F，连接B₁F，EF，易知侧面ACC₁A₁⊥底面A₁B₁C₁，∠FEB₁是B₁E与平面AA₁C₁C所成角，然后构造直角三角形，在直角三角形中求其正弦值，从而求解．
解答：证明：（Ⅰ）设AB₁和A₁B的交点为O，连接EO，连接OD．
因为O为AB₁的中点，D为AB的中点，
所以OD∥BB₁且．又E是CC₁中点，
所以EC∥BB₁且，
所以EC∥OD且EC=OD．
所以，四边形ECOD为平行四边形．所以EO∥CD．
又CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，则CD∥平面A₁BE．（5分）
（Ⅱ）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB₁⊥AB，BB₁⊥BC．
所以BB₁⊥平面ABC．
因为CD?平面ABC，所以BB₁⊥CD．
由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB，
所以CD⊥平面A₁ABB₁．
由（Ⅰ）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A₁ABB₁．
所以EO⊥AB₁．
因为侧面是正方形，所以AB₁⊥A₁B．
又EO∩A₁B=O，EO?平面A₁EB，A₁B?平面A₁EB，
所以AB₁⊥平面A₁BE．（10分）

（Ⅲ）解：取A₁C₁中点F，连接B₁F，EF．
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因为BB₁⊥平面ABC，
所以侧面ACC₁A₁⊥底面A₁B₁C₁．
因为底面A₁B₁C₁是正三角形，且F是A₁C₁中点，
所以B₁F⊥A₁C₁，所以B₁F⊥侧面ACC₁A₁．
所以EF是B₁E在平面ACC₁A₁上的射影．
所以∠FEB₁是B₁E与平面AA₁C₁C所成角
.．（14分）

解法二：如图所示，建立空间直角坐标系．
设边长为2，可求得A（0，0，0），C（0，2，0），C₁（0，2，2），A₁（0，0，2），，，E（0，2，1），，．
（Ⅰ）易得，，．所以，所以EO∥CD．
又CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，则CD∥平面A₁BE．（5分）
（Ⅱ）易得，，，
所以．
所以AB₁⊥A₁B，AB₁⊥A₁E．
又因为A₁B∩A₁E=A₁，A₁B，A₁E?平面A₁BE，
所以AB₁⊥平面A₁BE．（10分）
（Ⅲ）设侧面AA₁C₁C的法向量为n=（x，y，z），
因为A（0，0，0），C（0，2，0），C₁（0，2，2），A₁（0，0，2），
所以，．
由得解得
不妨令n=（1，0，0），设直线B₁E与平面AA₁C₁C所成角为α．
所以．
所以直线B₁E与平面AA₁C₁C所成角的正弦值为．（14分）
点评：此题考查直线与平面平行的判断及直线与平面垂直的判断，第一问此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，难度比较大，计算要仔细．