Question

设函数f（x）=，g（x）=x³﹣x²﹣3．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）﹣g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；

（Ⅲ）如果对任意的s，t，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

 

考点：	利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：	导数的综合应用．
分析：	（Ⅰ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可确定函数的单调区间； （Ⅱ）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，等价于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，求出函数的最值，即可求满足条件的最大整数M； （Ⅲ）当x时，恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，求右边的最值，即可得到结论．
解答：	解：（Ⅰ），，…（1分） ①a≤0，h'（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增…（2分） ②a＞0，，函数h（x）的单调递增区间为，，函数h（x）的单调递减区间为…（4分） （Ⅱ）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，等价于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，…（5分） 考察g（x）=x3﹣x2﹣3，，…（6分） x 0 2 g′（x） 0 ﹣ 0 +   g（x） ﹣3 递减 极（最）小值 递增 1 …（8分） 由上表可知：， ∴[g（x1）﹣g（x2）]max=g（x）max﹣g（x）min=，…（9分） 所以满足条件的最大整数M=4；…（10分） （Ⅲ）当x时，恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，…（11分） 记h（x）=x﹣x2lnx，所以a≥hmax（x） 又h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，则h′（1）=0． 记h'（x）=（1﹣x）﹣2lnx，，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0 即函数h（x）=x﹣x2lnx在区间上递增， 记h'（x）=（1﹣x）﹣2lnx，x∈（1，2]，1﹣x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0 即函数h（x）=x﹣x2lnx在区间（1，2]上递减， ∴x=1，h（x）取到极大值也是最大值h（1）=1…（13分） ∴a≥1…（14分）
点评：	本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．