Question

（2012•杭州二模）设函数f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2．
（Ⅰ）设函数F(x)=f(x)-

1

4

g(x)，求F（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设函数G(x)=

(x-1)f(x)

g(x)

，当x∈（1，t]时，都有tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）成立，求实数t的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数F(x)=f(x)-

1

4

g(x)=lnx-

1

8

x2，定义域为（0，+∞），求导函数F′（x）=

4-x2

4x

，令F′（x）＞0，可得F（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设函数G(x)=

(x-1)f(x)

g(x)

，则tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）等价于

G(x)

x-1

≤

G(t)

t-1

，即

f(x)

g(x)

≤

f(t)

g(t)

，设h(x)=

f(x)

g(x)

，则问题等价于h（x）≤h（t）在（1，t]上恒成立，h（t）为h（x）的最大值，由此可确定实数t的最大值．

解答：解：（Ⅰ）函数F(x)=f(x)-

1

4

g(x)=lnx-

1

8

x2，定义域为（0，+∞）
求导函数F′（x）=

4-x2

4x

，令F′（x）＞0，结合x＞0，可得0＜x＜2
∴F（x）的单调递增区间为（0，2）；
（Ⅱ）设函数G(x)=

(x-1)f(x)

g(x)

，则tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）等价于

G(x)

x-1

≤

G(t)

t-1

∴

f(x)

g(x)

≤

f(t)

g(t)

设h(x)=

f(x)

g(x)

，则问题等价于h（x）≤h（t）在（1，t]上恒成立，h（t）为h（x）的最大值
而h(x)=

f(x)

g(x)

=

2lnx

x2

，
∴h′(x)=

2(1-2lnx)

x3

(x＞0)
∴h（x）在区间（

e

，+∞）上单调递减，在区间（1，

e

）上单调递增
∴t≤

e

∴实数t的最大值为

e

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，考查恒成立问题，属于中档题．