Question

选修4-5：不等式选讲
设a，b，c均为正实数．
（Ⅰ）若a+b+c=1，求a²+b²+c²的最小值；
（Ⅱ）求证：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=1，可得 a²+b²+c² 的最小值为

1

3

．
（Ⅱ）由a，b，c均为正实数，可得

1

2

(

1

2a

+

1

2b

)≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，同理

1

2

(

1

2b

+

1

2c

) ≥

1

b+c

，

1

2

(

1

2c

+

1

2a

)≥

1

c+a

，相加可得不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）因为a，b，c 均为正实数，由柯西不等式得，
（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=1，当且仅当a=b=c=

1

3

 时等号成立，
∴a²+b²+c² 的最小值为

1

3

． …5分
证明：（Ⅱ）∵a，b，c均为正实数，∴

1

2

(

1

2a

+

1

2b

)≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，当且仅当a=b时等号成立；
则

1

2

(

1

2b

+

1

2c

)≥

1

2 bc

≥

1

b+c

，当且仅当b=c时等号成立；

1

2

(

1

2c

+

1

2a

)≥

1

2 ca

≥

1

c+a

，当且仅当c=a时等号成立；
三个不等式相加得，

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

，
当且仅当a=b=c时等号成立．…10分

点评：本题考查用综合法证明不等式，利用了关于正数的基本不等式

x+y

2

≥

xy

，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键和难点．