题目内容

数列{a_n}中，a_n=

1

n(n+1)

，其前n项和S_n为

n

n+1

n

n+1

．

分析：由a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和即可求解

解答：解：由a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴sn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

故答案为：

n

n+1

点评：本题主要考查了裂项求和方法在数列求和中的应用，注意一般规律

1

n(n+k)

=

1

k

(

1

n

-

1

n+k

)

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在数列{a_n}中，如果对任意n∈N⁺都有

=p（p为常数），则称数列{a_n}为“等差比”数列，p叫数列{a_n}的“公差比”．现给出如下命题：
（1）等差比数列{a_n}的公差比p一定不为零；
（2）若数列{a_n}（n∈N⁺）是等比数列，则数列{a_n}一定是等差比数列；
（3）若等比数列{a_n}是等差比数列，则等比数列{a_n}的公比与公差比相等．
则正确命题的序号是

（2006•南京一模）已知函数f（x）=2+

．数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．当a取不同的值时，得到不同的数列{a_n}，如当a=1时，得到无穷数列1，3，

，…；当a=-

时，得到有穷数列-

，0．
（1）求a的值，使得a₃=0；
（2）设数列{b_n}满足b₁=-

，bn=f(bn+1)(n∈N*)，求证：不论a取{b_n}中的任何数，都可以得到一个有穷数列{a_n}；
（3）求a的取值范围，使得当n≥2时，都有

（2012•安徽模拟）数列{a_n}中，a1=

(n∈N*)；数列{b_n}满足bn=

(n∈N*)．
（I）求证：数列{b_n}是等差数列，并求出{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求{a_n}中最大项与最小项．

关于数列有下列四个判断：
①若a，b，c，d成等比数列，则a+b，b+c，c+d也成等比数列；
②若数列{a_n}是等比数列，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n…也成等比数列；
③若数列{a_n}既是等差数列也是等比数列，则{a_n}为常数列；
④数列{a_n}的前n项的和为S_n，且 $数学公式$ ，则{a_n}为等差或等比数列；
⑤数列{a_n}为等差数列，且公差不为零，则数列{a_n}中不会有a_m=a_n（m≠n）．
其中正确命题的序号是________．（请将正确命题的序号都填上）

在数列{a_n}中，如果存在非零常数T使得a_n=a_n+T对于任意非零自然数n均成立，那么就称数列{a_n}为周期数列，其中T叫做数列{a_n}的周期，已知数列{a_n}满足a_n+1=|a_na_n1|（n≥2，n∈N），如果a₁=1，a₂=a(a∈R,a≠0)，当数列{a_n}的周期最小时，该数列前2005项的和是

A．668 B．669 C．1336 D．1337