Question

选修4-4：坐标系与参数方程选讲．
已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为

x=5+ 3 2 t y= 1 2 t

（t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．

Answer 1

分析：（1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把圆的极坐标方程化为普通方程；消去参数t即可得到直线l的方程；
（2）利用弦长|PQ|=2

r2-d2

和圆的内接矩形得对角线是圆的直径即可求出圆的内接矩形得面积．

解答：解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，化为普通方程：x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4，∴圆心C（2，0），半径r=2；
由直线l的参数方程为

x=5+ 3 2 t y= 1 2 t

（t为参数），消去参数t得x-

3

y-5=0．
（2）由（1）可知：圆心C（2，0）到直线l的距离d=

|2-0-5|

12+( 3 )2

=

3

2

．
∴弦长|PQ|=2

r2-d2

=

7

．
设以PQ为一条边作曲线C的内接矩形的另一条边长=

4r2-|PQ|2

=3．
∴该矩形的面积S=3×

7

=3

7

．

点评：理解弦长|PQ|=2

r2-d2

和圆的内接矩形得对角线是圆的直径是解题的关键．