题目内容

设F₁、F₂分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．

(1)若椭圆C上的点A(1，)到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．

(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程．

(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值，试写出双曲线＝1具有类似特性的性质并加以证明．

答案：
解析：

　　分析：由已知条件可写出椭圆方程及代入法求轨迹，本题不是直接证明椭圆中的性质，而是类似地转化到双曲线中证明双曲线具有的性质，用斜率公式及双曲线方程即可得证．

　　解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2．

　　又点A(1，)在椭圆上，因此＋＝1，b²＝3．

　　∴c²＝a²－b²＝1．

　　∴椭圆C的方程为＋＝1，焦点F₁(－1，0)，F₂(1，0)．

　　(2)设椭圆C上的动点为K(x₁，y₁)，线段F₁K的中点Q(x，y)满足x＝，y＝，

　　∴x₁＝2x＋1，y₁＝2y．

　　∴＋＝1，即(x＋)²＋＝1为所求的轨迹方程．

　　(3)类似的性质为：若M、N是双曲线＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，其中＝1．

　　又设点P的坐标为(x，y)，由k_PM＝，

　　k_PN＝，得k_PM·k_PN＝·＝．

　　将y²＝x²－b²，n²＝m²－b²，代入得k_PM·k_PN＝．

提示：

类比定义和性质是中学数学中最常考查的一类问题，它能很好地培养学生探索问题的能力，应该给予足够的重视．有兴趣的同学也可证明椭圆具有的性质．类比是研究圆锥曲线的一种方法．

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