Question

已知函数
（Ⅰ）当时,求函数的图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）在，为增函数，在为减函数

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）利用导数的几何意义表示切线方程关键是切点和切点出的斜率值。
（2）求解导数，然后对于含有参数的二次不等式的解集进行分类讨论得到。
解：（I）时,,
于是,,
所以函数的图象在点处的切线方程为，即．
（II）
=，
∵，∴ 只需讨论的符号．
ⅰ）当＞2时，＞0，这时＞0，所以函数在（－∞，+∞）上为增函数．ⅱ）当= 2时，≥0，函数在（－∞，+∞）上为增函数．
ⅲ）当0＜＜2时，令= 0，解得，．
当变化时，和的变化情况如下表：

	+	0	－	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴在，为增函数，在为减函数；
【备注题】（Ⅲ）是否存在实数，使当时恒成立？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．
当∈（1，2）时，∈（0，1）．由（2）知在上是减函数，在上是增函数，故当∈（0，1）时，，所以当∈（0，1）时恒成立，等价于恒成立．
当∈（1，2）时，，设，则，表明g(t) 在（0，1）上单调递减，于是可得，即∈（1，2）时恒成立，因此，符合条件的实数不存在.