Question

（12分）曲线C是中心在原点，焦点在轴上的双曲线，已知它的一个焦点F的坐标为（2，0），一条渐进线的方程为，过焦点F作直线交曲线C的右支于P．Q两点，R是弦PQ的中点。

  （Ⅰ）求曲线C的方程；

  （Ⅱ）当点P在曲线C右支上运动时，求点R到轴距离的最小值；

  （Ⅲ）若在轴在左侧能作出直线，使以线段pQ为直径的圆与直线L相切，求m的取值范围。

Answer 1

解析：（Ⅰ）设所求双曲线C的方程为-=1，

由题意得：

所以，所求曲线C的方程为          ……………3分

（Ⅱ）若弦PQ所在直线斜率K存在，则设其方程为y=k (x-2)

由

设点P

解得

此时点R到y轴的距离

而当弦PQ所在直线的斜率不存在时，点R到Y轴的距离为2，

所以，点R到Y轴距离的最小值为2。        ………………8分

（Ⅲ）因为直线L:x=m与以PQ为直径的圆相切

所以双曲线离心率e=，右准线方程为

所以|PQ|=|PF|+|QF|=2

所以，所以

因为       ………………12分