Question

【题目】已知函数f（x）对于一切实数x，y均有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，则当x∈（0， ），不等式f（x）+2＜logax恒成立时，实数a的取值范围是

Answer 1

【答案】[ ，1）
【解析】解：∵f（x）对于一切实数x，y均有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，
∴令y=0，x=1代入已知式子f（x+y）﹣f（y）=（x+2y+1）x，
得f（1）﹣f（0）=2，
∵f（1）=0，
∴f（0）=﹣2；
令y=0得f（x）+2=（x+1）x，
∴f（x）=x2+x﹣2．
当x∈（0， ），不等式f（x）+2＜logax恒成立时，
即x2+x＜logax恒成立，
设g（x）=x2+x，在（0， ）上是增函数，
∴0＜g（x） ，
∴要使x2+x＜logax恒成立，
则logax≥ 在x∈（0， ）恒成立，
若a＞1时，不成立．
若0＜a＜1，则有loga = 时，a= ，
∴要使logax≥ 在x∈（0， ）恒成立，
则 ≤a＜1，
所以答案是：[ ，1）