Question

已知实数x、y满足方程x²+y²-4x+1=0.

（1）求y-x的最大值和最小值；

（2）求x²+y²的最大值和最小值.

Answer 1

（1）y-x的最大值为-2+，最小值为-2-（2）x²+y²的最小值是（2-）²=7-4

解析:

（1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b=-2±.                                 5分

所以y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.                                  6分

（2）x²+y²表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.                                                                                                                                   8分

又圆心到原点的距离为=2，

所以x²+y²的最大值是（2+）²=7+4，

x²+y²的最小值是（2-）²=7-4.                                                                                12分