Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ-1（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₄a_n+1，求{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）由${S}_{n}={2}^{n}-1（n∈{N}^{+}）$，可得：n=1，a₁=S₁=1；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）b_n=log₄a_n+1=$\frac{n+1}{2}$，利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵${S}_{n}={2}^{n}-1（n∈{N}^{+}）$，n=1，a₁=S₁=1；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1．n=1时也成立．
∴a_n=2^n-1．
（2）b_n=log₄a_n+1=$\frac{n-1}{2}$+1=$\frac{n+1}{2}$，
∴{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{n（1+\frac{n+1}{2}）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．