Question

已知点A（1，3）和抛物线y²=4x，点P在抛物线上移动，P在y轴上的射影为Q，则|PQ|+|PA|的最小值是
（　　）

• A．1+

  2

• B．2+

  3

• C．3
• D．2

Answer 1

分析：设M为P在抛物线准线上的射影，根据抛物线的定义可得|PQ|+|PA|=|PM|+|PA|-1=|PF|+|PA|，由平面几何知识可得当P点恰好在线段AF上时，|PQ|+|PA|达到最小值，由此即可得到答案．

解答：解：∵抛物线方程为y²=4x，
∴焦点为F（1，0），准线方程l：x=-1，
设M为P在抛物线准线上的射影，
∴P、Q、M三点共线，且|PM|=|PQ|+1
根据抛物线的定义，可得
|PM|+|PA|=|PF|+|PA|
设AF与抛物线交点为P₀，则P与P₀重合时，
|PF|+|PA|=|AF|=3达到最小值，
因此，|PM|+|PA|的最小值等于3
可得|PQ|+|PA|=|PM|+|PA|-1的最小值为2
故选：D

点评：本题给出抛物线上的动点P，求P到A的距离与它到y轴投影点Q的距离和的最小值．着重考查了抛物线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．