Question

（2009•淄博一模）已知数列{a}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2，a₁=2），
（1）求a₂，a₃，a₄
（2）是否存在一个实数λ，使得数列{

an+λ

2n

}成等差数列，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
（3）求数列{a_n}的前n项和，证明：S_n≥n³+n²．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，代入计算，可得结论；
（2）假设存在一个实数λ，使得数列{

an+λ

2n

}成等差数列，则

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=1+

2-λ

2n

恒为常数，由此可得结论；
（3）确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和，再结合二项式定理，即可得到结论．

解答：（1）解：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2，a₁=2），
∴a₂=4+4+2=10，a₃=20+8+2=30a₄=60+16+2=78；
（2）解：假设存在一个实数λ，使得数列{

an+λ

2n

}成等差数列，则

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=1+

2-λ

2n

恒为常数
∴2-λ=0，即λ=2
此时

a1+2

2

=2，

a2+2

2

-

a1+2

2

=1
当λ=2时，数列{

an+λ

2n

}是首项为2、公差为1的等差数列
（3）证明：由（2）得

an+λ

2n

=

a1+2

2

+(n-1)=n+1
∴an=(n+1)•2n-2
∴S_n=2•2+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ-2n
∴2S_n=2•2²+3•2³+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹-4n
两式相减得：
-S_n=2•2+2²+2³+…2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹+2n=-n•2ⁿ⁺¹+2n
∴Sn=n•2n+1-2n
当n=1或2时，有S_n=n³+n²；
当n≥3时，Sn=n•2n+1-2n=2n[（1+1）ⁿ-1]≥2n[1+n+

n(n-1)

2

]=n³+n²．

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，属于中档题．