Question

在直角坐标平面内，已知a＝（x+2，y），b＝（x-2，y），且|a|-|b|＝2.

（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；

（2）过点D（2，0）作倾斜角为锐角的直线l与曲线C交于A、B两点，且⁼求直线l的方程；

（3）是否存在过D的弦AB，使得AB中点Q在y轴上的射影P满足PA⊥PB？

如果存在，求出AB的弦长；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）∵|a|-|b|=2，

∴=2＜4.                             

∴M（x，y）到点F（-2，0）和D（2，0）的距离差为2.

∴M点的轨迹是以F、D为焦点，实轴长为2的双曲线的右支.

∴a=1，c=2，b²=3．

∴M点的轨迹方程是C：x²-=1（x≥1）．                           

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

∵=3，

∴（2-x₁，-y₁）=3(x₂-2，y₂)，∴y₁=-3y₂，

设x=my+2，代入C：3(my+2)²-y²=3，

(3m²-1)y²+12my+9=0．

-2y₂=y₁+y₂=，-3y₂²=y₁y₂=.                              

∴()²=,12m²=1-3m²,m²=.由已知m＞0，l：x=y+2,即y=(x-2).

（3）假设存在满足条件的弦AB，则PQ为Rt△PAB斜边上的中线，∴2|PQ|=|AB|．

设Q（x₀，y₀），|PQ|=x₀．

y₀==-,x₀=my₀+2=+2=．

|PQ|=＞0,m²＜．

(y₁-y₂)²=()²-4×=36×.         

|AB|²=(y₁-y₂)²+(x₁-x₂)²=(1+m²) (y₁-y₂)²=．

∴|AB|==2|PQ|=，∴m²=-，不可能成立．

∴不存在满足条件的弦．