Question

已知函数，g（x）=bx²+3x．
（Ⅰ）若曲线h（x）=f（x）-g（x）在点（1，0）处的切线斜率为0，求a，b的值；
（Ⅱ）当a∈[3，+∞），且ab=8时，求函数的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由h（x）在点（1，0）处的切线斜率为0，得，由该方程组即可解得a，b值；
（Ⅱ） 由ab=8可把φ（x）表示出含a的函数，求导φ′（x），在定义域内解不等式φ′（x）＞0，φ′（x）＜0即得单调区间；由a∈[3，+∞），得，，按照极大值点-在区间[-2，-1]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论即可得到答案；
解答：解：（Ⅰ）函数h（x）定义域为{x|x≠-a}，
则，
∵h（x）在点（1，0）处的切线斜率为0，
∴，即，解得或；
（Ⅱ）φ（x）=（x+a）（bx²+3x）（x≠-a），
∵ab=8，所以，∴（x≠-a），
∴，
令φ'（x）=0，得，或，
∵因为a∈[3，+∞），∴所以，
∴故当，或时，φ'（x）＞0，当时，φ'（x）＜0，
∴函数φ（x）的单调递增区间为，单调递减区间为，
∵a∈[3，+∞），∴，，
①当，即a≥12时，∵φ（x）在[-2，-1]单调递增，
∴φ（x）在该区间的最小值为；
②当，即6＜a＜12时，
∵φ（x）在[-2，）上单调递减，在上单调递增，
∴φ（x）在该区间的最小值为=；
③当时，即3≤a≤6时，∵φ（x）在[-2，-1]单调递减，
∴φ（x）在该区间的最小值为，
综上所述，当3≤a≤6时，最小值为；当6＜a＜12时，最小值为；当a≥12时，最小值为．
点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力，充分体会数形结合思想在（Ⅱ）问中的应用．