Question

已知f(x)=lg(x²－2x+m)，其中m∈R为常数.

(1)求f(x)的定义域；

(2)证明f(x)的图象关于直线x=1对称.

Answer 1

(1)解:由x²－2x+m＞0得(x－1)²＞1－m.

当1－m＜0，即m＞1时，x∈R；

当1－m≥0，即m≤1时，x＜1－或x＞1+.

故当m＞1时，f(x)的定义域为R.

当m≤1时f(x)的定义域为(－∞，1－)∪(1+，+∞).

(2)证明:设A(x₀，f(x₀))为f(x)图象上任意一点，

则A点关于直线x=1的对称点为A′(2－x₀，f(x₀)).

∵f(2－x₀)=lg［(2－x₀)²－2(2－x₀)+m］=lg(x₀²－2x₀+m)=f(x₀),

∴A′点也在f(x)图象上.

由A点的任意性知f(x)的图象关于直线x=1对称.