Question

如图,已知长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁,AB=2,AA₁=1,直线BD与平面AA₁B₁B所成的角为30°,AE垂直BD于E,F为A₁B₁的中点.

(1)求异面直线AE与BF所成的角;

(2)求平面BDF与平面AA₁B所成二面角(锐角)的大小.

Answer 1

解:在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,以AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴,AA₁所在的直线为z轴建立空间直角坐标系,

由已知AB=2,AA₁=1,

可得A(0,0,0),B(2,0,0),F(1,0,1).

又AD⊥平面AA₁B₁B,

从而直线BD与平面AA₁B₁B所成的角即为∠DBA=30°.

又AB=2,AE⊥BD,AE=1,AD=,

从而易得E(,,0),D(0,,0).

(1)∵=(,,0),=(-1,0,1),

∴cos〈,〉=,

即异面直线AE与BF所成的角为arccos.

(2)易知平面AA₁B₁B的一个法向量m=(0,1,0),

设n=(x,y,1)是平面BDF的一个法向量,=(-2,,0),

由

∴n=(1,,1).

∴cos〈m,n〉=,

即平面BDF与平面AA₁B所成二面角(锐角)的大小为arccos.