Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，且（n∈N^*），数列{b_n}的通项公式为b_n=4n+3（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若将数列{a_n}与{b_n}的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列{d_n}，证明数列{d_n}的通项公式为d_n=3²ⁿ⁺¹（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设知，a₁=3.，所以（n≥2）．由此能求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）a₁、a₂不是数列{b_n}中的项．a₃=27=4×6+3，d₁=27是数列{b_n}中的第6项，设a_k=3^k是数列{b_n}中的第m项，则3^k=4m+3
（k、m∈N^*）．再证明a_k+1不是数列{b_n}中的项．a_k+2是数列{b_n}中的项．所以d₁=a₃，d₂=a₅，d₃=a₇，…，d_n=a_2n+1，由此求出数列{d_n}的通项公式．
解答：（Ⅰ）解：∵（n∈N^*），
∴，
∴a₁=3．
当n≥2时，，
∴a_n=3a_n-1，即（n≥2）．
∴数列{a_n}是以3首项，公比为3的等比数列，
∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ（n∈N^*）．（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a₁、a₂显然不是数列{b_n}中的项．
∵a₃=27=4×6+3，
∴d₁=27是数列{b_n}中的第6项，
设a_k=3^k是数列{b_n}中的第m项，则3^k=4m+3（k、m∈N^*）．
∵a_k+1=3^k+1=3×3^k=3（4m+3）=4（3m+2）+1，
∴a_k+1不是数列{b_n}中的项．
∵a_k+2=3^k+2=9×3^k=9（4m+3）=4（9m+6）+3，
∴a_k+2是数列{b_n}中的项．
∴d₁=a₃，d₂=a₅，d₃=a₇，…，d_n=a_2n+1，
∴数列{d_n}的通项公式是d_n=3²ⁿ⁺¹（n∈N^*）．（14分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．