Question

已知集合S_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_n），x₁∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）对于A=（a₁，a₂，…a_n，），B=（b₁，b₂，…b_n，）∈S_n，定义A与B的差为A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…|a_n-b_n|）；
A与B之间的距离为
（Ⅰ）当n=5时，设A=（0，1，0，0，1），B=（1，1，1，0，0），求d（A，B）；
（Ⅱ）证明：?A，B，C∈S_n，有A-B∈S_n，且d（A-C，B-C）=d（A，B）；
（Ⅲ）证明：?A，B，C∈S_n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意中的定义和集合A、B求出A-B，再由A与B之间的距离公式，求出d（A，B）；
（Ⅱ）根据题意设出集合A、B、C，则a_i，b_i，c_i∈{0，1}（i=1，2，，n），故得A-B∈S_n，再分c_i=0和c_i=1两种情况求出d（A-C，B-C）和d（A，B）；
（Ⅲ）根据题意设出集合A、B、C，再根据（Ⅱ）的结论，表示出d（A，B），d（A，C），d（B，C），再根据集合的元素为“0，1”，确定所求三个数中至少有一个是偶数．
解答：解：（Ⅰ）由题意得，A-B=（|0-1|，|1-1|，|0-1|，|0-0|，|1-0|）=（1，0，1，0，1），
d（A，B）=|0-1|+|1-1|+|0-1|+|0-0|+|1-0|=3
（Ⅱ）证明：设A=（a₁，a₂，，a_n），B=（b₁，b₂，，b_n），C=（c₁，c₂，，c_n）∈S_n
因为a₁，b₁∈{0，1}，所以|a₁-b₁|∈{0，1}（i=1，2，，n）
从而A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，|a_n-b_n|）∈S_n
由题意知a_i，b_i，c_i∈{0，1}（i=1，2，，n）
当c_i=0时，||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|a_i-b_i|
当c_i=1时，||a_i-c_i|-|b_i-c_i||=|（1-a_i）-（1-b_i）|=|a_i-b_i|
所以
（Ⅲ）证明：设A=（a₁，a₂，，a_n），B=（b₁，b₂，，b_n），C=（c₁，c₂，，c_n）∈S_n，
d（A，B）=k，d（A，C）=l，d（B，C）=h
记0=（0，0，0）∈S_n由（Ⅱ）可知
所以|b_i-a_i|（i=1，2，，n）中1的个数为k，|c_i-a_i|（i=1，2，，n）中1的个数为l
设t是使|b_i-a_i|=|c_i-a_i|=1成立的i的个数．则h=l+k-2t
由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数
即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．
点评：本题考查了利用新定义和集合的运算性质综合应用的能力，属于高难度题，需要认真审题，抓住新定义的本质．