Question

已知数列{F_n}，满足：F₁=F₂=1，F_n+2=F_n+1+F_n（n∈N^*），r_n是F_n除以3所得的余数，则r₂₀₁₁=

2

．

Answer 1

分析：根据r_n为F_n除以3所得的余数，依次写出F_n的各项，从而可得{r_n}的奇数项按1，2，2，1的周期规律排列，利用r₂₀₁₁是第1006项，第252个周期的第2项，可得结论．

解答：解：根据r_n为F_n除以3所得的余数，依次写出F_n的各项
F₁  F₂  F₃  F₄  F₅  F₆  F₇  F₈  F₉  F₁₀  F₁₁  F₁₂  F₁₃  F₁₄   F₁₅
1   1   2   3   5   8  13  21  34  55  89   144  233 377   610
r₁  r₂  r₃  r₄  r₅  r₆  r₇  r₈  r₉  r₁₀  r₁₁  r₁₂  r₁₃  r₁₄   r₁₅
1   1   2   0   2   2   1   0  1   1   2     0    2   2    1
从上面可以看出
r₁=1，r₃=2，r₅=2，r₇=1，r₉=1，r₁₁=2，r₁₃=2，r₁₅=1
∴{r_n}的奇数项按1，2，2，1的周期规律排列．
∵r₂₀₁₁是第1006项，第252个周期的第2项，故r₂₀₁₁=2
故答案为：2

点评：本题考查归纳猜想的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．