Question

已知数列{a_n}：满足：a₁=3，a_n+1=

3an+2

an+2

，n∈N^*，记b_n=

an-2

an+1

．
（I） 求证：数列{b_n}是等比数列；
（II） 若a_n≤t•4ⁿ对任意n∈N^*恒成立，求t的取值范围；
（III）证明：a₁+a₂+…a_n＞2n+

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证数列{b_n}是等比数列，需求得b_n+1=

an+1-2

an+1+1

，利用等比数列的定义即可证明；
（Ⅱ）由b_n=

an-2

an+1

=

1

4n

可求得a_n=

1+2•4n

4n-1

，结合条件a_n≤t•4ⁿ即可求得t的取值范围；
（Ⅲ）由a_n=

1+2•4n

4n-1

=2+

3

4n-1

＞2+

3

4n

，利用累加法即可证得结论．

解答：证明：（Ⅰ）由a_n+1=

3an+2

an+2

得，a_n+1-2=

3an+2

an+2

-2=

an-2

an+2

 ①，
a_n+1+1=

3an+2

an+2

+1=

4(an+1)

an+2

②（2分）
∴

①

②

得：

an+1-2

an+1+1

=

1

4

•

an-2

an+1

，即b_n+1=

1

4

b_n，且b₁=

a1-2

a1+1

=

1

4

，
∴数列{b_n}是首项为

1

4

，公比为

1

4

的等比数列．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=

1

4

•(

1

4

)n-1=

1

4n

=

an-2

an+1

∴a_n=

1+2•4n

4n-1

，
由a_n≤t•4ⁿ得t≥

1+2•4n

(4n-1)4n

=

2+ 1 4n

4n-1

（6分）
∵

2+ 1 4n

4n-1

是关于n的减函数，
∴

2+ 1 4n

4n-1

≤

2+ 1 4

4-1

=

3

4

，
∴t≥

3

4

（9分）
（Ⅲ）∵a_n=

1+2•4n

4n-1

=2+

3

4n-1

＞2+

3

4n

，（11分）
∴a₁+a₂+…+a_n＞（2+

3

4

）+（2+

3

42

）+…（2+

3

4n

）
=2n+（

3

4

+

3

42

+…+

3

4n

）
=2n+

3

4

•

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=2n+1-(

1

4

)n＞2n+

3

4

．得证（14分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，着重考查等比关系的确定，恒成立问题的分析与应用，突出转化思想与放缩法、累加法的考查，属于难题．