Question

设a为实数，函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（Ⅰ）若f（0）≥4，求a的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过f（0）≥4，得到绝对值不等式，然后求a的取值范围；
（Ⅱ）化简函数的表达式为分段函数的形式，通过a的范围分别求出函数的最小值，即可求函数f（x）的最小值的表达式．

解答：解：（Ⅰ）f（0）≥4，即：-a|a|≥4，所以a＜0，得到：a²≤4，所以a≤-2
（Ⅱ）f(x)=

2x2+(x-a)2，x≥a 2x2-(x-a)2，x＜a

令g(x)=3x2-2ax+a2=3(x-

1

3

a)2+

2

3

a2，x≥a；
h（x）=x²+2ax-a²=（x+a）²-2a²，x＜a
当a≥0时，gmin=g(a)=2a2，hmin=h(-a)=-2a2，所以fmin=-2a2
当a＜0时，gmin=g(

1

3

a)=

2

3

a2，hmin=h(a)=2a2，所以fmin=

2

3

a2
综上：fmin=

-2a2，a≥0 2 3 a2，a＜0

点评：本题考查绝对值不等式的求法，分段函数最值的求法，考查计算能力．