题目内容

如图，在△ABC中，|
BC
|=3
2
，|
CA
|=4，|
AB
|=2
3
，PQ是以A为圆心，
2
为半径的圆的直径，求
BP
•
CQ
的最大值、最小值，并指出取最大值、最小值时向量
PQ
的方向．
分析：欲求
BP
•
CQ
的最值只需将
BP
与
CQ
转化成已知模的向量进行计算即可，即
BP
=
AP
-
AB
，
CQ
=
AQ
-
AC
=-
AP
-
AC
，代入运算即可．
解答：解：由余弦定理得cosA=
|AB|
2+
|AC|
2-
|BC|
2
2
|AB|
•
|AC|
=
5
8
3

∵
AB
•
AC
=
|AB|
•
|AC|
cosA=5，
BP
=
AP
-
AB
，
CQ
=
AQ
-
AC
=-
AP
-
AC

∴
BP
•
CQ
=（
AP
-
AB
）（-
AP
-
AC
）=-2+（
AB
-
AC
）•
AP
+5=3+
CB
•
AP

∵
CB
与
AP
的模为定值
∴当
CB
与
AP
方向相同时，
CB
•
AP
取最大值6，
当
CB
与
AP
方向相反时，
CB
•
AP
取最小值-6，
即当
PQ
与
BC
方向相反时，
BP
•
CQ
取最大值9，
当
PQ
与
BC
方向相同时，
BP
•
CQ
取最小值-3．
点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，以及余弦定理的应用，同时考查了分类讨论与转化的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2cm，
AD=4cm．
（1）求：⊙O的直径BE的长；
（2）计算：△ABC的面积．
精英家教网如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=
3
BD，BC=2BD，则sinC的值为（　　）
A、
3
3
B、
3
6
C、
6
3
D、
6
6
如图，在△ABC中，设
AB
=a，
AC
=b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．
（Ⅰ）若
AP
=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM，求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比
S平行四边形ANPM
S△ABC
．
如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3．
（1）求∠ADC的大小；
（2）求AB的长．
如图，在△ABC中，已知
BD
=2
DC
，则
AD
=（　　）

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