Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

CA

•

CB

=c2-(a-b)2．
（1）求cosC的值；
（2）若∠A是钝角，求sinB的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据余弦定理将a，b，c的关系代入到

CA

•

CB

中，即得到角C的余弦值．
（2）现根据角A的范围确定B，C的范围，再由正弦函数的单调性可求出sinB的取值范围．

解答：解：（1）由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
∴c²-（a-b）²=a²+b²-2abcosC-（a-b）²=2ab（1-cosC），
∵

CA

•

CB

=abcosC=c²-（a-b）²，
∴abcosC=2ab（1-cosC），
∴cosC=

2

3

．
（2）在△ABC中，由∠A是钝角得，A=π-B-C＞

π

2

，
∴0＜B＜

π

2

-C＜

π

2

，
∵y=sinx在[0，

π

2

]上为增函数，
∴0＜sinB＜sin（

π

2

-C）=cosC=

2

3

，
∴sinB的取值范围是0＜sinB＜

2

3

．

点评：本题主要考查余弦定理、向量的数量积运算和正弦函数的单调性．向量和三角函数的综合题是高考的热点，每年必考，要充分准备．