Question

叙述并证明勾股定理．

Answer 1

分析：勾股定理的内容为：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理．它有不同的证明方法，这里我们用面积法来证明．

解答：证明：如图 左边的正方形是由1个边长为a的正方形和1个边长为b的正方形以及4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的．右边的正方形是由1个边长为c的正方形和4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的．因为这两个正方形的面积相等（边长都是a+b），所以可以列出等式a2+b2+4×

1

2

ab=c2+4×

1

2

ab，化简得a²+b²=c²．






下面是一个错误证法：

解：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理
证明：作两个全等的直角三角形，
设它们的两条直角边长分别为a、b（b＞a），斜边长为c．
再做一个边长为c的正方形．
把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上．

过点Q作QP∥BC，交AC于点P．
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；
再过点F作FN⊥PQ，垂足为N．
∵∠BCA=90°，QP∥BC，
∴∠MPC=90°，
∵BM⊥PQ，
∴∠BMP=90°，
∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°．
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，
∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，
∴∠QBM=∠ABC，
又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，
∴Rt△BMQ≌Rt△BCA．
同理可证Rt△QNF≌Rt△AEF．即a²+b²=c²

点评：勾股定理是初等几何中的一个基本定理．所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究．故大家要熟练掌握他的内容及证明方法．