Question

已知函数f（x）=

x

x2+b

，其中b∈R．
（Ⅰ）若x=-1是f（x）的一个极值点，求b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，f′(x)=

b-x2

(x2+b)2

．                                     …（2分）
依题意，令f′（-1）=0，得b=1．                           …（4分）
经检验，b=1时符合题意．                                  …（5分）
（Ⅱ）①当b=0时，f(x)=

1

x

．
故f（x）的单调减区间为（-∞，0），（0，+∞）；无单调增区间．      …（6分）
②当b＞0时，f′(x)=

b-x2

(x2+b)2

．
令f′（x）=0，得x=±

b

．                       …（8分）
f（x）和f′（x）的情况如下：

x	（-∞，- b ）	- b	（- b ， b ）	b	（ b ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘		↗		↘

故f（x）的单调减区间为（-∞，-

b

），（

b

，+∞）；单调增区间为（-

b

，

b

）．…（11分）
③当b＜0时，f（x）的定义域为D={x|x≠±

-b

}．
因为f′(x)=

b-x2

(x2+b)2

在D上恒成立，
故f（x）的单调减区间为（-∞，-

b

），（-

b

，

b

），（

b

，+∞）；无单调增区间．…（13分）