Question

已知数列{a_n}的首项a₁=

2

3

，a_n+1=

2an

an+1

，n=1，2，3，…．
（1）证明：数列{

1

an

-1}是等比数列；  
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由数列递推式，求倒数，再作变形，即可证得结论；
（2）利用（1）的结论，根据等比数列的通项公式，可得{a_n}的通项公式．

解答：（1）证明：∵a_n+1=

2an

an+1

，∴

1

an+1

=

an+1

2an

，∴

1

an+1

=

1

2

+

1

2an

∴

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)
∵a₁=

2

3

，∴

1

an

-1=

1

2

∴数列{

1

an

-1}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列；
（2）解：由（1）知，

1

an

-1=(

1

2

)n，∴an=

2n

1+2n

．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列通项的求解，属于中档题．