Question

已知函数f（x）=x²+bx+2，g（x）=|x²-1|，x∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）满足f（1+x）=f（2-x），求使不等式f（x）≥g（x）成立的x的取值集合；
（Ⅱ）若函数h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有两个不同的零点x₁，x₂，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过f（1+x）=f（2-x），求出函数的对称轴，得到b的值，化简g（x）为分段函数，直接求解不等式f（x）≥g（x）成立的x的取值集合；
（Ⅱ）化简函数h（x）=f（x）+g（x）+2的表达式，通过b为0与不为0，分析函数在（0，2）上有两个不同的零点x₁，x₂，推出关系式，即可求实数b的取值范围．

解答：解：（I）由于f（1+x）=f（2-x）知函数f（x）关于x=

3

2

对称，
即-

b

2

=

3

2

，解得b=-3，于是 f（x）=x²-3x+2．…（3分）
g(x)=

x2-1，  x≤-1或x≥1 1-x2，  -1＜x＜1

当x≤-1，或x≥1时，由f（x）≥g（x）有x²-3x+2≥x²-1，解得x≤1，
∴此时x的范围为x≤-1，或x=1．
当-1＜x＜1时，由f（x）≥g（x）有x²-3x+2≥1-x²，解得x≤

1

2

或x≥1，
∴此时x的范围为-1＜x≤

1

2

．
∴综上知，使不等式f（x）≥g（x）成立的x的取值集合为{x|x≤

1

2

或x=1}．…（7分）
（II）h(x)=

2x2+bx+3，x≤-1或x≥1 bx+5，           -1＜x＜1

若b=0时，h(x)=

2x2+3，x≤-1或x≥1 5，            -1＜x＜1.

，
显然h（x）＞0恒成立，不满足条件．…（9分）
若b≠0时，函数?（x）=bx+5在（0，1）上是单调函数，
即?（x）在（0，1）上至多一个零点，不妨设0＜x₁＜x₂＜2．
①如果0＜x₁＜1，1≤x₂＜2时，则?（0）?（1）＜0，且h（1）h（2）≤0，
即

b+5＜0 (b+5)(2b+11)≤0

解得-

11

2

≤b＜-5．
经检验b=-

11

2

时，h（x）的零点为

10

11

或2（舍去），
∴-

11

2

＜b＜-5．
②若1≤x₁＜x₂＜2时，

h(1)≥1 h(2)＞0 1＜- b 4 ＜2 b2-24＞0

，
即

b+5≥0 2b+11＞0 -8＜b＜-4 b＜-2 6 或b＞2 6

，
得：-5≤b＜-2

6

．
∴综上所述b的取值范围为-

11

2

＜b＜-2

6

． …（12分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，函数的零点的讨论，分类讨论思想的应用，考查计算能力以及转化思想．