Question

已知函数f（x）=x³+bx²-ax在x=1处有极小值-1．
（1）求a，b的值；
（2）求出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）已知函数f（x）=x³+bx²-ax在x=1处有极小值-1，即f（1）=-1，f′（1）=0，所以先求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b的值；
（2）分别解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可得函数f（x）的单调增区间与单调递减区间．

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²+2bx-a，函数f（x）=x³+bx²-ax在x=1处有极小值-1，
∴f（1）=-1，f′（1）=0
∴1+b-a=-1，3+2b-a=0
解得a=1，b=-1
∴f（x）=x³-x²-x
（2）∵f′（x）=3x²-2x-1
∴由f′（x）=3x²-2x-1＞0得x∈（-∞，-

1

3

）∪（1，+∞）
由f′（x）=3x²-2x-1＜0得x∈（-

1

3

，1）
∴函数f（x）的单调增区间为：（-∞，-

1

3

），（1，+∞），减区间为：（-

1

3

，1）．

点评：本题考查导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，属于中档题．