Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，下列结论中错误的是（　　）

A．?x_α∈R，f（x_α）=0

B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形

C．若x_α是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x_α）单调递减

D．若x_α是f（x）的极值点，则f^′（x_α）=0

Answer 1

分析：利用导数的运算法则得出f^′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出．

解答：解：f^′（x）=3x²+2ax+b．
（1）当△=4a²-12b＞0时，f^′（x）=0有两解，不妨设为x₁＜x₂，列表如下

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：
①x₂是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（-∞，x₂）不具有单调性，故C不正确．
②∵f(-

2a

3

-x)+f（x）=(-

2a

3

-x)3+a(-

2a

3

-x)2+b(-

2a

3

-x)+c+x³+ax²+bx+c=

4a3

9

-

2ab

3

+2c，
f(-

a

3

)=(-

a

3

)3+a(-

a

3

)2+b(-

a

3

)+c=

2a3

9

-

ab

3

+c，
∵f(-

2a

3

-x)+f（x）=2f(-

a

3

)，
∴点P(-

a

3

，f(-

a

3

))为对称中心，故B正确．
③由表格可知x₁，x₂分别为极值点，则f′(x1)=f′(x2)=0，D正确．
④∵x→-∞时，f（x）→-∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即?x_α∈R，f（x_α）=0，故A正确．
（2）当△≤0时，f′(x)=3(x+

a

3

)2≥0，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；
②B同（1）中②正确；
③∵x→-∞时，f（x）→-∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即?x_α∈R，f（x_α）=0，故A正确．
综上可知：错误的结论是C．
故选C．

点评：熟练掌握导数的运算法则、中心得出的定义、单调性与极值的关系等基础知识与方法，考查了分类讨论的思想方法等基本方法．