题目内容

已知 $数学公式$ ，其中n∈N^．
（1）若展开式中含x³项的系数为14，求n的值；
（2）当x=3时，求证：f（x）必可表示成 $数学公式$ $数学公式$ （s∈N^）的形式．

解：（1）由二项式定理可知，二项展开式的通项公式为 T_r+1= $\text{[math]}$ •2^n-r• $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ =3，解得r=6，展开式中含x³项的系数为 $\text{[math]}$ •2^n-6=14，解得 n=7．
（2）当x=3时，f（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ •2ⁿ• $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
+…+ $\text{[math]}$ ．
设 $\text{[math]}$ =x+ $\text{[math]}$ y= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，由于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，a、b∈N^*，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ． …（7分）
∵（ $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =1，
∴令 a=s，s∈N^*，则必有 b=s-1，…（9分）
∴ $\text{[math]}$ 必可表示成 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的形式，其中 s∈N^*． …（10分）
分析：（1）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x³的项，再根据展开式中含x³项的系数为14，求n的值．
（2）当x=3时，求得f（x）的解析式，由于若 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，a、b∈N^*，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．再由（ $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ ）=1，令 a=s，s∈N^*，则必有 b=s-1，从而证得结论．
点评：本题二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，属于中档题．