Question

【题目】如图，直线y= x与抛物线y= x2﹣4交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点，当P为抛物线上位于线段AB下方（含A，B）的动点时，则△OPQ面积的最大值为 ．

Answer 1

【答案】30
【解析】解：直线y= x与抛物线y= x2﹣4联立，得到A（﹣4，﹣2），B（8，4），
从而AB的中点为M（2，1），
由kAB═ ，直线AB的垂直平分线方程y﹣1=﹣2（x﹣2）．
令y=﹣5，得x=5，
∴Q（5，﹣5）．
∴直线OQ的方程为x+y=0，设P（x， x2﹣4）．
∵点P到直线OQ的距离d= = |x2+8x﹣32|，|OQ|=5 ，
∴S△OPQ= |OQ|d= |x2+8x﹣32|，|
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，
∴﹣4≤x＜4 ﹣4或4 ﹣4＜x≤8．
∵函数y=x2+8x﹣32在区间[﹣4，8]上单调递增，
∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值30．
所以答案是：30．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．