Question

【题目】已知函数在处的切线的斜率为1.

（1）如果常数，求函数在区间上的最大值；

（2）对于，如果方程在上有且只有一个解，求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得，得到，进而可得导函数零点，分析导函数符号变化规律可得函数单调性，最后根据k与e大小关系讨论单调性，进而确定最大值（2）变量分离得，利用导数研究图像，根据数形结合可得时有且只有一个解，即得的值

试题解析：解：（1）由得，因为，所以，从而．

所以，令得．所以当时， ，函数单调递增；当时， ，函数单调递减．

因此如果，则函数的最大值为；

如果，则函数的最大值为．

（2）因为 ，令，则方程在上有且只有一个解等价于函数在上有且只有一个零点．

因为，令，则（舍去），，所以当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增．

因此在时取到最小值，由题意知，从而有，又，所以，因为，

所以，令，则当时单调递增，且，所以，由此可得．

（解法二）由得

设，则 ，由于单调递减且，所以时单调递增， 时单调递减

方程在上有且只有一个解等价于。故．