Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=

2

，BB₁=2，∠ABC=90°，E、F分别为AA₁、C₁B₁的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为

 

．

Answer 1

分析：分类讨论，若把面ABA₁B₁ 和面B₁C₁BC展开在同一个平面内，构造直角三角形，由勾股定理得 EF 的长度．
若把把面ABA₁B₁ 和面A₁B₁C₁展开在同一个平面内，构造直角三角形，由勾股定理得 EF 的长度．
若把把面ACC₁A₁和面A₁B₁C₁展开在同一个面内，构造直角三角形，由勾股定理得 EF 的长度．
以上求出的EF 的长度的最小值即为所求．

解答：解：直三棱柱底面为等腰直角三角形，①若把面ABA₁B₁ 和面B₁C₁CB展开在同一个平面内，
线段EF就在直角三角形A₁EF中，由勾股定理得 EF=

A1E2+A1F2

=

1+( 3 2 2 )2

=

22

2

．
②若把把面ABA₁B₁ 和面A₁B₁C₁展开在同一个平面内，设BB₁的中点为G，在直角三角形EFG中，
由勾股定理得 EF=

EG2+GF2

=

( 2 )2+(1+ 2 2 )2

=

7 2 + 2

．
③若把把面ACC₁A₁和面A₁B₁C₁展开在同一个面内，过F作与CC₁行的直线，过E作与AC平行的直线，
所作的两线交与点H，则EF就在直角三角形EFH中，
由勾股定理得 EF=

EH2+FH2

=

(2- 1 2 )2+(1+ 1 2 )2

=

3 2

2

，
综上，从E到F两点的最短路径的长度为

3 2

2

，
故答案为：

3 2

2

．

点评：本题考查把两个平面展开在同一个平面内的方法，利用勾股定理求线段的长度，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．