题目内容

甲、乙、丙三名射击选手，各射击一次，击中目标的概率如下表所示（0＜p＜1）：
选手甲乙丙
概率 $数学公式$ p P
若三人各射击一次，恰有k名选手击中目标的概率记为P_k=P（X=k），k=0，1，2，3．
（1）求X的分布列；（2）若击中目标人数的均值是2，求P的值．

解：（1）由题意得：
P₀= $\text{[math]}$ ；
P₁= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P₂= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P₃= $\text{[math]}$ ，
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
p	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

…（8分）
（2）EX=0× $\text{[math]}$ +1× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ =2p+ $\text{[math]}$ ，
∴2p+ $\text{[math]}$ =2，
∴p= $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（1）由已知中甲射中的概率为 $\text{[math]}$ ，则甲未射中的概率为 $\text{[math]}$ ，乙和丙射中的概率为p，乙和丙未射中的概率为（1-p），我们易根据恰有k名选手击中目标的概率记为P_k=P（X=k），计算出P₀，P₁，P₂，P₃的值，进而得到X的分布列；
（2）根据（1）中的X有分布列，我们可以求出离散型变量X的数学期望（含参数p），根据击中目标人数的均值是2，我们可以构造关于参数p的方程，解方程即可求出P的值．
点评：本题考查的知识点是n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量及其分布列和数学期望，（1）中的关键是根据分步乘法原理分别求出P₀，P₁，P₂，P₃的值，（2）的关键是根据已知条件构造关于参数p的方程．