题目内容
（04年上海卷理）(18分)
设P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且a1=
2, a2=
2, …, an=
2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O是坐标原点. 记Sn=a1+a2+…+an.
(1) 若C的方程为
=1,n=3. 点P1(3,0) 及S3=255, 求点P3的坐标；
(只需写出一个)
(2)若C的方程为
(a>b>0). 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求Sn的最小值；
. (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1, P2,…Pn存在的充要条件,并说明理由.
解析：(1) a1=
2=100,由S3=
(a1+a3)=255,得a3=
3=70.
由 |
| ,得 | x |
x | y |
=1
=60
∴点P3的坐标可以为(2
, 
).
(2) 【解法一】原点O到二次曲线C:
(a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a.
∵a1=2=a2, ∴d<0,且an=
2=a2+(n－1)d≥b2,
∴
≤d<0. ∵n≥3,
>0
∴Sn=na2+d在[,0)上递增,
故Sn的最小值为na2+?=
.
【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),
由 | x | ,解得y |
|
+
=1 ∵0< y
≤b2,得
≤d<0
∴≤d<0
以下与解法一相同.
(3) 【解法一】若双曲线C:
－
=1,点P1(a,0),
则对于给定的n, 点P1, P2,…Pn存在的充要条件是d>0.
∵原点O到双曲线C上各点的距离h∈[
,+∞),且=a2,
∴点P1, P2,…Pn存在当且仅当2>2,即d>0.
【解法二】若抛物线C:y2=2x,点P1(0,0),
则对于给定的n, 点P1, P2,…Pn存在的充要条件是d>0.理由同上
【解法三】若圆C:(x－a)+y2=a2(a≠0), P1(0,0),
则对于给定的n, 点P1, P2,…Pn存在的充要条件是0<d≤
.
∵原点O到圆C上各点的最小距离为0,最大距离为2,
且=0, ∴d>0且2=(n－1)d≤4a2.即0<d≤.
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)到直线l:ρ(2cosθ+sinθ)=4的距离d= .
得到,则 f(x)=( )