题目内容
（04年上海卷文）(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分
如图, 直线y=
x与抛物线y=
x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.
(1) 求点Q的坐标；
(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方
(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
解析：(1) 解方程组 | y= | 得 | X1=－4, x2=8 |
y= | y1=－2, y2=4 |
即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).
由kAB==
,直线AB的垂直平分线方程y－1=(x－2).
令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)
(2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, 
x2－4).
∵点P到直线OQ的距离d=
=
,
,∴SΔOPQ=
=
.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,
∴－4≤x<4
－4或4－4<x≤8.
∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增,
∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30.
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