Question

已知函数f(x)=lnx-

a

x

（Ⅰ）若f（x）在[1，e]上的最小值为

3

2

，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

令f′（x）＜0得x＜-a，令f′（x）＞0，得x＞-a，
①-a≤1，即a≥-1时，f（x）在[1，e]上单增，f（x）最小值=f（1）=-a=

3

2

，a=-

3

2

＜-1，不符，舍；
②-a≥e，即a≤-e时，f（x）在[1，e]上单减，f（x）最小值=f（e）=1-

a

e

=

3

2

，a=-

e

2

＞-e，不符，舍；
③1＜-a＜e，即-e＜a＜-1时，f（x）在[1，-a]上单减，在[-a，e]上单增，f（x）最小值=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，a=-e

1

2

，满足；
综上a=-e

1

2

．
（Ⅱ）由题意，只需a＞xlnx-x³，x∈（1，+∞）恒成立，
令h（x）=xlnx-x³，h'（x）=lnx+1-3x²，h''（x）=

1

x

-6x=

1-6x2

x

＜0 在（1，+∞）上恒成立，
∴h'（x）在（1，+∞）上单减，又h'（1）=-2＜0，
∴h'（x）＜0 在（1，+∞）上恒成立，h（x）在（1，+∞）上单减，又h（1）=-1，
∴h（x）＜-1在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥-1．