Question

已知函数f（x）=ax-lnx．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为f（x）=ax-lnx，所以f′(x)=a-

1

x

．因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0平行，所以切线的斜率k=1．由此能求出实数a．
（Ⅱ）因为函数f（x）的定义域是（0，+∞），且f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，再由实数a的取值范围进行分类讨论，能够求出f（x）的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=ax-lnx，
所以f′(x)=a-

1

x

．
因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0平行，
所以切线的斜率k=1．
所以f'（1）=1，即a-1=1．
所以a=2．…..（4分）
（Ⅱ）因为函数f（x）的定义域是（0，+∞），
且f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

，
…..（6分）
①当a≤0时，f'（x）＜0，
所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．…..（8分）
②当a＞0时，令f'（x）=0，x=

1

a

．
所以当a∈(0 ，

1

a

)时，f'（x）＜0，f（x）在(0 ，

1

a

)上是减函数；
…..（10分）
当a∈(

1

a

  ，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）在(

1

a

  ，+∞)上是增函数．
…..（12分）
所以当a≤0时，f（x）的递减区间是（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的递减区间是(0 ，

1

a

)，
f（x）的递增区间是(

1

a

  ，+∞)．…..（13分）

点评：本题考查满足条件的实数的求法，考查函数的单调区间的求法．解题时要认真题，仔细解答，注意函数的导数、切线方程和单调性等知识点的综合运用．