Question

如图1-5，直线l₁和l₂相交于点M，点N∈l₁，以A、B为端点的曲线段C上任意一点到l₂的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程.

图1-5

Answer 1

思路分析：题中给出了相互垂直的直线l₁、l₂,则以l₁、l₂为x轴、y轴,M为坐标原点,建立坐标系的思路非常自然,设P(x,y)是曲线段C上任意一点,作PH⊥l₂,H是垂足,则由题意知点P满足等式|PN|=|PH|,为求得方程,只需求得N点的坐标.

解法一：如图,建立坐标系,分别以l₁、l₂为x轴、y轴,M为坐标原点,作AE⊥l₁,AD⊥l₂,

BF⊥l₂,垂足分别是E、D、F,设A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),N(x_N,0),

依题意,有x_A=|ME|=|DA|=|AN|=3,y_A=|DM|==.

由于△AMN是锐角三角形,故有

x_N=|ME|+|EN|=|ME|+=4,x_B=|BF|=|BN|=6.

设点P(x,y)是曲线段C上任一点,作PH⊥l₂,H是垂足,则由题意知P属于集合

{(x,y)|(x-x_N)²+y²=x²,x_A≤x≤x_B,y＞0}.

故曲线段C的方程为y²=8(x-2)(3≤x≤6,y＞0).

解法二：如图,以l₁为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立坐标系,根据题意,曲线段C是以N为焦点,l₂为准线的抛物线的一段.

其中A、B分别为曲线C的端点.设曲线C的方程为y²=2px(p＞0)(x_A≤x≤x_B,y＞0),其中x_A、x_B分别为A、B的横坐标,p=|MN|.

∴M(,0),N(,0).

由|AM|=,|AN|=3,得

(x_A+)²+2px_A=,①

(x_A-)²+2px_A=9.②

联立①②,解得x_A=.代入①式,并由p＞0,解得p=4,x_A=1或p=2,x_A=2.

∵△AMN是锐角三角形,∴＞x_A.故舍去p=2,x_A=2.

由点B在曲线段C上,得x_B=|BN|-=4.

综上,得曲线段C的方程为y²=8x(1≤x≤4,y＞0).