Question

如图,三棱柱ABC—A₁B₁C₁中, 侧棱与底面垂直，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，M是BC中点。

(Ⅰ)求证：A₁B∥平面AMC₁；

(Ⅱ)求直线CC₁与平面AMC₁所成角的正弦值；

（Ⅲ）试问：在棱A₁B₁上是否存在点N，使AN与MC₁成角60°？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由。

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接A₁C，交AC₁于点O，连接OM．

∵ABC﹣A₁B₁C₁是直三棱柱，

∴四边形ACC₁A₁为矩形，O为A₁C的中点．

又∵M为BC中点，

∴OM为△A₁BC中位线，

∴A₁B∥OM，

∵OM⊂平面AMC₁，A₁B⊄平面AMC₁，

所以 A₁B∥平面AMC₁．…（4分）

解：（Ⅱ）由ABC﹣A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，

故BA，BC，BB₁两两垂直．可建立如图空间直角坐标系B﹣xyz．

设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C₁（2，0，1），M（1，0，0）．

则=（1，﹣2，0），=（2，﹣2，1），

设平面AMC₁的法向量为=（x，y，z），则有

，即

所以取y=1，得=（2，1，﹣2）．

又∵=（0，0，1）

∴直线CC₁与平面AMC₁所成角θ满足

sinθ==

故直线CC₁与平面AMC₁所成角的正弦值为

解：（Ⅲ）假设存在满足条件的点N．

∵N在线段A₁B₁上，A₁（0，2，1），B₁（0，0，1），

故可设N（0，λ，1），其中0≤λ≤2．

∴=（0，λ﹣2，1），=（1，0，1）．

∵AN与MC₁成60°角，

∴==．

即，解得λ=1，或λ=3（舍去）．

所以当点N为线段A₁B₁中点时，AN与MC₁成60°角．…（12分）