Question

销售甲，乙两种商品所得利润分别为P（万元）和Q（万元），它们与投入资金t（万元）的关系有经验公式P=

1

5

t，Q=

3

5

t

．今将3万元资金投入经营甲，乙两种商品，其中对甲种商品投资x万元
（1）试建立总利润y（万元）关于x的函数表达式
（2）求x为多少时，总利润y最大？并写出最大利润．

Answer 1

分析：（1）通过设出甲投资以及乙投资的数目，设立函数表达式，根据函数式直接写出定义域．
（2）首先要对（1）的函数分析，设

3-x

=m，然后根据一元二次方程的求最值方法求解．

解答：解：（1）因为对甲种商品投资x万元，
所以对乙种商品投资为3-x万元
由题意知：y=P+Q=

1

5

x+

3

5

3-x

（0≤x≤3）
（2）设

3-x

=m，
则m≥0且x=3-m²y=

1

5

x+

3

5

3-x

=

1

5

(3-m2)+

3

5

m
=-

1

5

(m2-3m-3)=-

1

5

(m-

3

2

)2+

21

20

所以当m=

3

2

即：

3-x

=

3

2

，
也就是x=

3

4

万元时，
总利润最大，ymax=

21

20

万元
故：应甲种商品投资

3

4

万元，对乙种商品投资

9

4

万元时，
总利润最大，最大值为

21

20

万元．

点评：本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，构造数学模型从而解决问题．需要对知识熟练的掌握并应用，属于基础题．